Задача 108844

Темы:    [ Равногранный тетраэдр ] [ Развертка помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Суммы плоских углов при каждой из трёх вершин тетраэдра равны по 180^o . Докажите, что все грани тетраэдра равны (т.е. тетраэдр – равногранный).

Решение

Пусть суммы плоских углов при каждой из вершин A , B и C равны по 180^o . Тогда развёртка тетраэдра на плоскость грани ABC есть треугольник D1D2D3 , причём точки A , B и C – середины его сторон, а значит, отрезки. AB , BC и AC – его средние линии. Пусть указанная развёртка состоит из треугольников ABC , BCD1 , CAD2 и ABD3 . Тогда

BD = BD1=AC, AD=AD2 = BC, CD=CD1=AB,
т.е. противоположные рёбра тетраэдра ABCD попарно равны. Следовательно, все его грани равны между собой ( признак равенства треугольников по трём сторонам).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7270