Задача 108853

Темы:    [ Задачи на максимум и минимум (прочее) ] [ Правильная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Найдите наибольший возможный угол между плоскостью боковой грани и не принадлежащим ей боковым ребром правильной четырёхугольной пирамиды.

Решение

Пусть PABCD – правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P . Обозначим AB = a , PQ=h , где Q – основание высоты пирамиды. Найдём наибольший возможный угол между боковым ребром AP и плоскостью боковой грани CPD . Пусть A1 – ортогональная проекция точки A на плоскость грани CPD , ϕ – угол между прямой AP и плоскостью этой грани, M и N – середины рёбер AB и CD соответственно, MK – высота треугольника MPN . Заметим, что прямая MK перпендикулярна плоскости грани CPD , а т.к. ребро AB параллельно этой плоскости, то AA1=MK . Из прямоугольных треугольников APQ и MPQ находим, что

AP = = , PM = = .
В равнобедренном треугольнике PMN известно, что PN=PM и MN· PQ = PN· MK . Отсюда находим, что
MK = = .
Тогда
sin ϕ = = = = =

= =
Поскольку среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического,
()2+()2 2 = ,
причём равенство достигается, если = , т.е. при = . Следовательно,
sin ϕ = = = = 2(-1)<1,
причём равенство достигается, если ϕ = arcsin (2(-1)) .

Ответ

arcsin 2( - 1) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7455