|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC ∠A = 60°. Внутри треугольника нашлась точка O, из которой все стороны видны под углом 120°. На луче CO выбрана такая точка D, что треугольник AOD – равносторонний. Серединный перпендикуляр к отрезку AO пересекает прямую BC в точке Q. Докажите, что прямая OQ делит отрезок BD пополам.
Решение
Заметим, что ∠BAO = 60° – ∠OAC = ∠OCA, ∠ABO = 60° – ∠BAO = ∠OAC. Поэтому треугольники AOB и COA подобны по двум углам. Следовательно,
AO : CO = BO : AO.
Точка D лежит на серединном перпендикуляре отрезку AO. Продолжим отрезок BO до пересечения с прямой DQ в точке E. Тогда EO = EA, а так как ∠AOE = 60°, то треугольник AOE – равносторонний. Поэтому OE = OA = OD. Значит, EO : CO = BO : DO. Отсюда следует, что треугольники DOB и COE подобны. Согласно замечательному свойству трапеции прямая OQ проходит через середину отрезка BD.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4471 |
