Задача 108893

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вспомогательная окружность ] [ Средняя линия треугольника ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Точки K и L – середины диагоналей соответственно AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD . Прямая KL пересекает стороны AD и BC в точках X и Y соответственно. Описанная окружность треугольника AKX пересекает сторону AB в точке M . Докажите, что описанная окружность треугольника BLY тоже проходит через точку M .

Решение

Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть E – середина стороны AB . Поскольку LE – средняя линия треугольника ABD ,

MAX = BAD = BEL,
а т.к. AMKX – вписанный четырёхугольник, то
MKL = MKY = 180^o - XKM = MAX = BEL = MEL.
Таким образом, из точек K и E , расположенных по одну сторону от прямой LM , отрезок ML виден под одним и тем же углом. Значит, точки K , E , M и L лежат на одной окружности. Тогда
AEK = 180^o- MEK = KLM,
а т.к. KE – средняя линия треугольника ABC , то
AEK = ABC = MBY.
Значит,
XLM = YBM.
Следовательно, точки B , Y , L и M лежат на одной окружности, т.е. описанная окружность треугольника BLY проходит через точку M . Остальные случаи рассматриваются аналогично.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6242