Задача 108897

Темы:    [ Скалярное произведение. Соотношения ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Пусть O – центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника ABC ( AB=AC ), D – середина стороны AB , а E – точка пересечения медиан треугольника ACD . Докажите, что OE CD .

Решение

Поскольку D – середина отрезка AB ,

= (+),
поэтому
=(++ ) = (++ (+))=

=(3+2+).
Кроме того
= (+) =((+)+ (+)=

=(+-2).
Значит,
12· = (3+2+) (+-2)=

= 32+3· - 6· + 2· +2· -42 +

+· + 2- 2· =

= 3R2-4R2+R2 +4· - 4· =

=4(-)= 4· = 0,
т.к. OA BC ( R – радиус окружности). Следовательно, OE CD .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6246