Условие
Сторона
BC треугольника
ABC касается вписанной в
него окружности в точке
D . Докажите, что центр окружности
лежит на прямой, проходящей через середины отрезков
BC и
AD .
Решение
Пусть
P – точка касания со стороной
BC вневписанной
окружности
S треугольника
ABC . Проведём касательную
l к
вписанной окружности треугольника
ABC , параллельную стороне
BC . Обозначим через
K точку касания.
При гомотетии с центром в точке
A , переводящей вписанную
окружность треугольника
ABC в окружность
S , прямая
l
переходит в параллельную ей прямую
BC , точка
K – в точку
P касания окружности
S с отрезком
BC .
Известно, что
BD = CP . Поэтому середина
M стороны
BC является
серединой отрезка
DP . Тогда, если
N – середина отрезка
AD , то
MN – средняя линия треугольника
ADP .
Пусть
O – центр вписанной окружности треугольника
ABC . Тогда
OK 
l и
OD BC , а т.к.
l || BC , то точки
K ,
O и
D лежат на одной прямой. Поскольку
MN – средняя
линия треугольника
ADP , а
DO=OK , то точка
O лежит на прямой
MN .
Что и требовалось доказать.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
6247 |
