Задача 108902

Темы:    [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Серединные перпендикуляры к диагоналям BD и AC вписанного четырёхугольника ABCD пересекают сторону AD в точках X и Y соответственно. Докажите, что середина стороны BC равноудалена от прямых BX и CY .

Решение

Поскольку точка X лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BD , а точка Y – на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то треугольники BDX и ACY – равнобедренные. Обозначим

CAY = ACY = α, BDX = DBX=β.
Пусть прямые BX и CY пересекаются в точке P . По условию задачи, четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Из теоремы о вписанных углах следует, что
CBP= CBX = CBD + DBX = CAD + DBX = α + β,

BCP = BCY = BCA + ACY = BDA + ACY = β+α.
Значит, треугольник BPC – равнобедренный. Следовательно, середина его основания BC равноудалена от прямых BX и CY , на которых лежат его боковые стороны.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6252