Задача 108903

Темы:    [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Касательная в точке A к описанной окружности треугольника ABC пересекает продолжение стороны BC за точку B в точке K, L – середина AC, а точка M на отрезке AB такова, что  ∠AKM = ∠CKL.  Докажите, что  MA = MB.

Решение

Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что  ∠KAB = ∠BCA = ∠KCA,  поэтому треугольники AKB и CKA подобны по двум углам. Поскольку  ∠AKM = ∠CKL,  отрезки KL и KM – соответствующие элементы подобных треугольников, а так как KL – медиана треугольника CKA, то KM – медиана треугольника AKB.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6253