ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108907
Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть BM – медиана остроугольного треугольника ABC. Касательная в точке A к описанной окружности треугольника ABM, и касательная в точке C к описанной окружности треугольника BCM, пересекаются в точке D. Докажите, что точка K, симметричная точке D относительно прямой AC лежит на прямой BM.


Решение 1

  Лемма. Вокруг треугольника PQR описана окружность, RS – касательная, проведённая к ней в точке R. Точка T лежит на прямой PQ, причём
TRP = ∠PRS.  Тогда  PT = PR²/QP.
  Доказательство. По теореме об угле между касательной и хордой  ∠PQR = ∠PRS = ∠TRP,  значит, треугольники PQR и PRT подобны по двум углам. Поэтому  PT : RP = RP : QP,  то есть  PT = PR²/QP.

  Выберем на прямой BM точки K' и K'', для которых  ∠K''CM = ∠MCD  и  ∠K''AM = ∠MAD.  По лемме  MK'' = CM²/MB = AM²/MB = MK'',  значит, точки K' и K'' совпадают. Поскольку точка K' симметрична точке D относительно прямой AC, отсюда следует решение задачи.


Решение 2

  Проведём серединный перпендикуляр ME к отрезку AC. Пусть точка D симметрична относительно него точке D. Заметим, что точки K и D' симметричны относительно точки M, поэтому, если мы докажем, что точка D' лежит на прямой BM, то и точка K также будет лежать на этой прямой.
  Действительно, поскольку  ∠DCA = ∠CBM  и  ∠DAC = ∠ABM,  имеем  ∠CD'A = ∠CDA = 180° – ∠DCA − ∠DAC = 180° − ∠ABM − ∠CBM = 180° − ∠B.  Это означает, что четырёхугольник ABCD′ – вписанный. Точка M лежит на его диагонали BD', так как  ∠CBM = ∠DCA = ∠CAD' = ∠CBD'.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6257

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .