Задача 108908

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Дан вписанный четырёхугольник ABCD, в котором  ∠ABC + ∠ABD = 90°.  На диагонали BD отмечена точка E, причём  BE = AD.  Из неё на сторону AB опущен перпендикуляр EF. Докажите, что  CD + EF < AC.

Решение

  На продолжении стороны CD за точку D отложим отрезок DK, равный EF. Тогда  ∠ADK = ∠ABC = 90° – ∠ABD = 90° – ∠FBE = ∠BEF.  Поэтому треугольник ADK равен треугольнику BEF по двум сторонам и углу между ними. Значит,  ∠AKD = ∠BFE = 90°.
  Поскольку гипотенуза меньше катета,  CD + EF = CD + DK = CK < AC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6258