ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108913
Темы:    [ Признаки и свойства касательной ]
[ Биссектриса делит дугу пополам ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Проведена окружность S с центром в вершине C равнобедренного треугольника ABC ( AC=BC ). Радиус окружности меньше AC . Найдите на этой окружности такую точку P , чтобы касательная к окружности, проведённая в этой точке, делила пополам угол APB .

Решение

Докажем, что P – точка пересечения данной окружности S с описанной окружностью треугольника ABC . Продолжим высоту CH треугольника ABC до пересечения с описанной окружностью в точке D . Тогда CD – диаметр этой окружности, поэтому CPD = 90o . Значит, DP – касательная к окружности S . Осталось заметить, что D – середина дуги AB , не содержащей точки C . Следовательно, APD = BPD (вписанные углы, опирающиеся на раные дуги), т.е. PD – биссектриса угла APB . Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6264

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .