Задача 108915

Темы:    [ Площадь круга, сектора и сегмента ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника построены полуокружности, расположенные так, как показано на рисунке. Докажите, что сумма площадей образовавшихся "луночек" равна площади данного треугольника.

Решение

Пусть 2a и 2b – длины катетов, 2c – длина гипотенузы. Тогда по теореме Пифагора

4a2+4b2 = 4c2 a2+b2-c2 = 0.
Сумма площадей "луночек" равна
(+ + S_{Δ ABC}) - = (a2+b2-c2) + S_{Δ ABC} = 0+S_{Δ ABC}= S_{Δ ABC}.
Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6266