Задача 108923

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике проведены биссектрисы AL и BM . Известно, что одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников ACL и BCM лежит на отрезке AB . Докажите, что ACB=60^o .

Решение

Положим CAB = 2α , ABC = 2β , ACB = 2γ . Пусть K – точка пересечения указанных в условии окружностей, лежащая на стороне AB . Поскольку четырёхугольники AKLC и BKMC – вписанные,

AKM = BCM = 2γ, BKL = ACL = γ.
По теореме о вписанных углах
CKL = CAL = α, CKM = CBM = β.
Поэтому
180^o = AKM + CKM + CKL + BKL= 2γ + β + α + 2γ =

= 4γ + (α + β) = 4γ + (90^o-γ) = 3γ + 90^o.
Следовательно,
ACB = 2γ = 2· (180^o-90^o)= 60^o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6274