Задача 108925

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Диагональ AC выпуклого четырёхугольника ABCD делится точкой пересечения диагоналей пополам. Известно, что  ∠ADB = 2∠CBD.  На диагонали BD нашлась точка K, для которой  CK = KD + AD.  Докажите, что  ∠BKC = 2∠ABD.

Решение

  На продолжении отрезка KD за точку D отложим отрезок DE, равный AD. Тогда  CK = KE.
  Обозначим  ∠CBD = α.  Тогда  ∠ADB = 2α.  ADB – внешний угол равнобедренного треугольника ADE, поэтому  ∠AEB = ∠AED = α = ∠CBE.
Значит,   BC || AE .  При этом диагональ AC четырёхугольника ABCE делится диагональю BE пополам, поэтому ABCE – параллелограмм. Следовательно,  ∠BEC = ∠ABE,  а так как BKC – внешний угол равнобедренного треугольника CKE, то  ∠BKC = 2∠BEC = 2∠ABD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6276