Условие
Четырёхугольник
ABCD вписан в окружность
S с
центром
O . Биссектриса угла
ABD пересекает
сторону
AD и окружность
S в точках
K и
M
соответственно. Биссектриса угла
CBD пересекает
сторону
CD и окружность
S в точках
L и
N
соответственно. Известно, что прямые
KL и
MN
параллельны. Докажите, что описанная окружность
треугольника
MON проходит через середину отрезка
BD .
Решение
Рассмотрим гомотетию с центром в точке
B , переводящую
точку
L в точку
N . При этой гомотетии прямая
KL
переходит в параллельную ей прямую
MN , луч
BK –
в себя, точка
K – в точку
M , точка
D – в некоторую
точку
D' . Тогда
MD' || AD и
ND' || CD .
Точка
M – середина дуги
AD , не содержащей точки
B , т.к.
BM – биссектриса вписанного угла
ABD . Поэтому
OM 
AD ,
а значит,
OM MD' . Аналогично,
ON ND' .
Из точек
M и
N отрезок
OD' виден под прямым углом, поэтому
точки
M и
N лежат на окружности с диаметром
OD' . Поскольку
около треугольника можно описать единственную окружность, точка
D' лежит на описанной окружности
S' треугольника
MON .
Пусть
E – отличная от
D' точка пересечения отрезка
BD' с окружностью
S' . Тогда
D'EO= 90
o , т.к.
OD' – диаметр окружности
S' . Перпендикуляр
OE , опущенный из центра
O окружности
S на хорду
BD , делит её пополам. Следовательно,
E – середина
BD .
Что и требовалось доказать.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
6282 |
