Условие
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность S с
центром O . Биссектриса угла ABD пересекает
сторону AD и окружность S в точках K и M
соответственно. Биссектриса угла CBD пересекает
сторону CD и окружность S в точках L и N
соответственно. Известно, что прямые KL и MN
параллельны. Докажите, что описанная окружность
треугольника MON проходит через середину отрезка
BD .
Решение
Рассмотрим гомотетию с центром в точке B , переводящую
точку L в точку N . При этой гомотетии прямая KL
переходит в параллельную ей прямую MN , луч BK –
в себя, точка K – в точку M , точка D – в некоторую
точку D' . Тогда MD' || AD и ND' || CD .
Точка M – середина дуги AD , не содержащей точки B , т.к.
BM – биссектриса вписанного угла ABD . Поэтому OM 
AD ,
а значит, OM MD' . Аналогично, ON ND' .
Из точек M и N отрезок OD' виден под прямым углом, поэтому
точки M и N лежат на окружности с диаметром OD' . Поскольку
около треугольника можно описать единственную окружность, точка
D' лежит на описанной окружности S' треугольника MON .
Пусть E – отличная от D' точка пересечения отрезка BD' с окружностью
S' . Тогда 
D'EO= 90o , т.к. OD' – диаметр окружности
S' . Перпендикуляр OE , опущенный из центра O окружности S на хорду
BD , делит её пополам. Следовательно, E – середина BD .
Что и требовалось доказать.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
6282 |
