Задача 108938

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD  ∠CAD + ∠BCA = 180°  и  AB = BC + AD.  Докажите, что  ∠BAC + ∠ACD = ∠CDA.

Решение

  На продолжении стороны BC за точку C отложим отрезок CD', равный AD. Тогда  ∠ACD' = 180° – ∠BCA = ∠CAD,  BD' = BC + CD' = BC + AD = AB. 
  Треугольники ACD' и CDA равны по двум сторонам и углу между ними (сторона AC – общая). Поэтому  ∠CAD' = ∠ACD.  Поскольку треугольник ABD' – равнобедренный,  ∠BAC + ∠ACD = ∠BAC + ∠CAD' = ∠BAD' = ∠BD'A = ∠CDA.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6289