|
|
 |
Условие
На гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC выбрана точка D, для которой BC = CD. На катете BC взята точка E, для которой DE = CE.
Докажите, что AD + BE = DE.
Решение 1
Пусть M – середина гипотенузы AC. Тогда BM = AM = CM, ∠EDC = ∠DCE = ∠CBM, ∠MBD = ∠BDE. Поэтому треугольники MDB и EBD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, DM = BE и DE = BM. Следовательно, AD + BE = AD + DM = AM = BM = DE.
Решение 2
На продолжении катета BC за вершину B отложим отрезок BF, равный AD. Так как BC = CD, то AC = CF и ∠CAF = ∠CFA. Следовательно, треугольники AFD и FAB равны по двум сторонам и углу между ними, откуда ∠ADF = ∠FBA = 90°. Углы при основании DC при основании равнобедренного треугольника CED равны, поэтому ∠EFD = 90° – ∠ECD = 90° – ∠EDC = ∠EDF, откуда AD + BE = FB + BE = FE = DE.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 6290 |
