Задача 108943

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1 . На высоте AA1 выбрана точка D , для которой A1D=C1D . Точка E – середина стороны AC . Докажите, что точки A , C1 , D и E лежат на одной окружности.

Решение

Из точек A1 и C1 отрезок AC виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC . Середина E стороны AC – центр этой окружности, EA1 и EC1 – радиусы, A1EC1 – центральный угол, A1AC1 – вписанный угол. Поскольку DA1=DC1 и EA1=EC1 , точки D и E лежат на серединном перпендикуляре к отрезку A1C1 . Поэтому

C1ED = C1EA1 = A1AC1 = DAC1,
т.е. из точек E и A , лежащих по одну сторону от прямой DC1 , отрезок DC1 виден под одним и тем же углом. Следовательно, точки A , C1 , D и E лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6294