Задача 108944

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1 . Точки K и M – середины отрезков AB и A1B1 соответственно. Отрезки AA1 и KM пересекаются в точке L . Докажите, что точки A , K , L и B1 лежат на одной окружности.

Решение

Из точек A1 и B1 отрезок AB виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AB . Середина K стороны AB – центр этой окружности, KB1 и KA1 – радиусы, A1KB1 – центральный угол, A1AB1 – вписанный угол. Медиана KM равнобедренного треугольника A1KB1 является его биссектрисой, поэтому

LAB1 = A1AB1 = A1KB1 = MKB1= LKB1,
т.е. из точек K и A , лежащих по одну сторону от прямой LB1 , отрезок LB1 виден под одним и тем же углом. Следовательно, точки A , K , L и B1 лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6295