Задача 108947

Темы:    [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Пусть S1 и S2 – две окружности, лежащие одна вне другой. Общая внешняя касательная касается их в точках A и B . Окружность S3 проходит через точки A и B и вторично пересекает окружности S1 и S2 в точках C и D соответственно; K – точка пересечения прямых, касающихся окружностей S1 и S2 соответственно в точках C и D . Докажите, что KC=KD .

Решение

Воспользуемся следующими известными фактами. 1. Окружность симметрична относительно каждого своего диаметра. 2. Фигура, состоящая из двух окружностей, симметрична относительно их линии центров. 3. Общие внутренние касательные к двум окружностям пересекаются на линии центров. Пусть прямые KC и KD вторично пересекают окружность S3 в точках L и M соответственно. Тогда при симметрии относительно линии центров окружностей S1 и S3 отрезок AB перейдёт в отрезок CL . Поэтому CL=AB . Аналогично, DM=AB . Значит, CL=DM . Тогда четырёхугольник CDML – равнобедренная трапеция. Поэтому треугольник KCD – равнобедренный, KC=KD . Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6298