Задача 108952

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Пусть ABCD – выпуклый четырёхугольник, M и N – середины его сторон AD и BC соответственно. Точки A , B , M и N лежат на одной окружности, прямая AB касается описанной окружности треугольника BMC . Докажите, что она также касается описанной окружности треугольника AND .

Решение

Обозначим MAB = α , ABM = β . Поскольку четырёхугольник ABNM – вписанный,

MNC = 180^o- MNB = MAB = α.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
MCB = ABM = β.
Поэтому треугольники ABM и NCM подобны по двум углам. Значит,
= = = .
Кроме того,
DMN = 180^o- AMN = ABN.
Поэтому треугольники DMN и ABN подобны по двум сторонам и углу между ними. Значит, MDN = NAB . Тогда из теоремы, обратной теореме об угле между касательной хордой, следует, что прямая AB касается описанной окружности треугольника AND .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6303