Задача 108953

Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB и BC треугольника ABC в котором  ∠ C = 40°  выбраны точки D и E, для которых  ∠BED = 20°.  Докажите, что  AC + EC > AD.

Решение

  Продолжим отрезок DE до пересечения с прямой AC в точке F. Тогда  ∠FEC =  ∠BED = 20°,  ∠CFE = ∠ACB – ∠CFE = 20°.  Поэтому треугольник FCE – равнобедренный,  CF = CE.  Значит,  AC + EC = AC + CF = AF.
  В треугольнике ADF  ∠AFD = 20°,  а  ∠ADF > ∠BED = 20°  (как внешний угол треугольника BDE). Таким образом, в треугольнике ADF против большего угла ADF лежит большая сторона AF, то есть  AC + EC = AF > AD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6304