Задача 108958

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC известно, что  BC = 2AC.  На стороне BC выбрана точка D, для которой  ∠CAD = ∠B. Прямая AD пересекает биссектрису внешнего угла при вершине C в точке E. Докажите, что  AE = AB.

Решение

  Обозначим  ∠C = γ.  Тогда  ∠ BCE = 90° – ^γ/₂,  ∠ACE = 90° + ^γ/₂.
  Пусть M – середина стороны BC. Тогда  CM = BM = ½ BC = AC.  Из равнобедренного треугольника ACM находим, что  ∠AMC = 90° – ^γ/₂.
  Поэтому  ∠AMB = 90° + ^γ/₂ = ∠ACE.  Треугольники ACE и BMA равны по стороне и двум углам. Следовательно,  AE = AB.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6309