Задача 108968

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Четырехугольник (неравенства) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Доказать, что если окружность касается трёх сторон выпуклого четырёхугольника и не пересекает четвёртой, то сумма четвёртой и противоположной ей стороны меньше суммы остальных сторон четырёхугольника.

Решение

Проведем из точки C касательную к окружности (рис.). Получили описанный четырехугольник. Суммы противоположных сторон его равны: BC+AE=AB+CE . Сумма противоположных сторон четырехугольника

BC+AD=BC+AE+ED=(BC+AE)+ED.
Подставим значение BC+AE из первого равенства:
BC+AD=(AB+CE)+ED=AB+(CE+ED).
Из треугольника ECD : CE+ED>CD , поэтому AB+(CE+ED)>AB+CD . Таким образом, BC+AD>AB+CD .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1961
Номер	11
Название	11-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название	Задача 7.5