Задача 108985

Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Построить прямоугольный треугольник, зная, что часть катета от вершины острого угла до точки касания с вписанной окружностью равна данному отрезку m , а противолежащий этому катету угол равен данному углу α .

Решение

Пусть искомый прямоугольный треугольник ABC построен. ACB = 90^o , O – центр вписанной окружности, PO AC , P – точка касания окружности и катета AC , AP=m, ABC=α (рис.). Соединим центр окружности с вершиной A . Угол BAC = 90^o - α, OAP=(90^o-α)/2 , так как центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника. Отсюда видно, что построение искомого треугольника сводится к построению прямоугольного треугольника OPA по катету m и острому углу (90^o - α)/2 , который легко достроить до искомого треугольника.

Ответ

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1962
Номер	12
Название	12-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название	Задача 8.6