|
|
 |
Условие
На основании BC треугольника ABC найти точку M так, чтобы
окружности, вписанные в треугольники ABM и AMC взаимно
касались.
Решение
Пусть искомая точка M найдена. Точка касания окружностей, вписанных в треугольники ABM и MAC , должна совпасть с точкой касания круга O1 , вписанного в треугольник ABM , со стороной AM и с точкой касания с той же стороной круга O2 , вписанного в треугольник MAC , так как точка касания этих окружностей может лежать лишь на стороне AM (иначе окружности не будут вписанными в соответствующие треугольники), а двух точек на стороне AM ни одна окружность, по условию, не имеет (рис.). Используя свойства касательных к кругу, проведенных из одной точки, сумеем выразить отрезок BM через стороны треугольника, которые известны, поскольку треугольник дан. Обозначим стороны треугольника a,b,c . Пусть точки касания E,P,K,R,F; EA=AK (касательные из точки A к кругу O1 ), AK=AF (касательные к кругу O2 из точки A ), следовательно, EA=FA . Аналогично PM=MK, MK=MR, PM=MR . Далее, EB=BP (касательные к кругу O1 проведенные из точки B ), CF=CR . Обозначим BE=BP=d, EA=AF=e, FC=CR=f , RM=MP=g . Нам нужно выразить через стороны треугольника отрезок BM=BP+PM=d+g . BA+CA+CB=a+b+c=BE+EA+AF+FC+CR+RM+MP+PB=d+e+e+f+f+g+g+d=2(d+e+f+g) . Таким образом, a+b+c=2(d+e+f+g) . Отсюда BM=d+g=(a+b+c)/2-(e+f)=(a+b+c)/2-(AF+FC)=(a+b+c)/2-b=(a+c-b)/2 . отрезок BM теперь можно построить, а следовательно, и точку M .
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Белорусские республиканские математические олимпиады |
| олимпиада | |
| Год | 1962 |
| Номер | 12 |
| Название | 12-я Белорусская республиканская математическая олимпиада |
| Задача | |
| Название | Задача 9.5 |
