Задача 108993

Темы:    [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Какую наибольшую площадь может иметь треугольник, стороны которого a,b,c заключены в следующих пределах:

0<a<= 1<= b<= 2<= c<= 3?

Решение

Предположим сначала, что длина третьей стороны c не подчинена никаким условиям. Площадь треугольника со сторонами a и b и углом α между ними определяется по формуле 1/2 ab sinα . Если a и b подчинены условиям 0, то произведение ab sin α будет максимально, когда каждый из сомножителей будет максимальным, т. е. при a=1, b=2, sinα=1 ( α=90^o ). Таким образом, наибольшую площадь имеет прямоугольный треугольник с катетами 1 и 2. Третья сторона этого треугольника c= удовлетворяет условиям 2 c 3 . Поэтому среди всех треугольников, стороны которых подчинены условию 0<a<= 1 <=b <=2 <=c <=3 , максимальную площадь будет иметь тот же прямоугольный треугольник. Эта площадь равна 1.

Ответ

1.00

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1963
Номер	13
Название	13-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название	Задача 10.1