Задача 108996

Темы:    [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Системы точек ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Условие

На плоскости задано n точек. Известно, что среди любых трёх из них имеются две, расстояние между которыми не больше 1. Доказать, что на плоскость можно наложить два круга радиуса 1, которые закроют все эти точки.

Решение

Так как у нас конечное число точек, то можно выбрать две из них, расстояние между которыми наибольшее. Из этих точек как из центров проведем окружности радиуса 1. Любая третья точка попадет в один из этих кругов. Это происходит потому, что если между выбранными нами точками расстояние больше 1, то третья точка должна от одной из них находиться на расстоянии, не большем 1. Если расстояние между выбранными точками не больше единицы, то утверждение тем более верно, так как выбрано наибольшее расстояние.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1963
Номер	13
Название	13-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название	Задача 11.1