Задача 108997

Темы:    [ Максимальное/минимальное расстояние ] [ Куб ] [ Теорема Пифагора в пространстве ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

На диагонали AC нижней грани единичного куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отложен отрезок AE длины l . На диагонали B₁D₁ его верхней грани отложен отрезок B₁F длиной ml . При каком l (и фиксированном m>0 ) длина отрезка EF будет наименьшей?

Решение

Отрезок FE определим из треугольника FKE , где FK перпендикулярен плоскости ABCD , FK=1, FE= (рис.). Из треугольника KEO , где угол KOE равен 90^o как угол между диагоналями квадрата, находим EK²=KO²+OE², OK=FL=B₁F-LB₁=ml-/2 ; OE=AO-AE=/2-l . Отсюда EK²=(ml-/2)²+(/2-l)²=l²(m²+1)-l(m+1)+1 . Подставим значение EK² и FK² в формулу для FE :

FE=.
Отрезок FE будет достигать минимума при тех же значениях l , что и подкоренное выражение. Выделим в последнем полный квадрат:
2+l²(m²+1)-l(m+1)=

=(m²+1)(l²-2/2· (m+1)/(m²+1)l+((m+1)²)/(2(m²+1)²)-((m+1)²)/(2(m²+1)²)+2/(m²+1))=

=(m²+1)((l-/2· (m+1)/(m²+1))²+(4(m²+1)-(m+1)²)/(2(m²+1)²)).
Из этой формулы видно, что FE принимает минимальное значение при l=/2· (m+1)/(m²+1) .

Ответ

при l=/2· (m+1)/(m²+1) .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1963
Номер	13
Название	13-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название	Задача 11.2