Задача 109001

Темы:    [ Построения с помощью вычислений ] [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Построить треугольник по двум сторонам так, чтобы медианы этих сторон были взаимно перпендикулярны.

Решение

Пусть искомый треугольник построен. AM=MC, BK=KC, AK MB . Из прямоугольных треугольников AMO и OKB запишем: OM²+OA²=AM², OK²+OB²=KB², AC=2b, AM=b, BC=2a , KB=a , AK=3x, AO=2x , MB=3y, OB=2y, OM=y, OK=x (рис.) Подставим введённые значения в данные уравнения

Решая эту систему, получим x=/ , y=/ . Достаточно построить один из этих отрезков, чтобы построить треугольник по двум сторонам и медиане. Отрезки и a можно построить с помощью теоремы Пифагора. Теперь же x=(· a)/a , очевидно, можно построить.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1963
Номер	13
Название	13-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название	Задача 9.2