Условие
На плоскости дано
k точек, расположенных так, что на каждой
прямой, соединяющей две из этих точек, лежит по крайней мере ещё
одна из них. Доказать, что все
k точек лежат на одной прямой.
Решение
Предположим противное: не все
k отмеченных точек лежат на одной
прямой. Рассмотрим множество всех прямых, проходящих через как
минимум 2 отмеченные точки. Рассмотрим все возможные расстояния от
наших точек до этих прямых. По предположению, не все они равны нулю.
Среди положительных расстояний выберем наименьшее. Пусть это
расстояние будет между точкой
D и прямой
l , содержащей точки
A,B и
C (рис.). В полученном треугольнике
ADC опустим высоту
DH на прямую
l . По одну сторону от
H на прямой должно
находиться как минимум две отмеченные точки (будем считать, что сама
H расположена сразу с обеих сторон). Без ограничения общности
положим, что это точки
A и
B (как на рисунке).
Покажем, что расстояние от
B до прямой
AD будет строго меньше,
чем
DH . Действительно, расстояние от
H до прямой
AD строго
меньше
DH , поскольку высота всегда меньше двух прилегающих к ней
сторон. А расстояние от
B до
AD , очевидно, не больше расстояния
от
H до
AD . Тем самым мы показали, что выбранное нами расстояние
вовсе не минимально. Получили противоречие. Следовательно, все
отмеченные точки лежат на одной прямой.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Белорусские республиканские математические олимпиады |
|
олимпиада |
|
Название |
14-я Белорусская республиканская математическая олимпиада |
|
Год |
1964 |
|
Номер |
14 |
|
Задача |
|
Название |
Задача 11.2 |
