Задача 109008

Темы:    [ Медиана делит площадь пополам ] [ Перегруппировка площадей ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На продолжении AB, BC, CD и DA сторон выпуклого четырёхугольника ABCD откладываются отрезки BB₁=AB; CC₁=BC; DD₁=CD; AA₁=AD . Доказать, что площадь четырёхугольника A₁B₁C₁D₁ в пять раз больше площади четырёхугольника ABCD .

Решение

Проведём диагональ AC данного четырёхугольника и соединим точку C с точкой B₁ (рис.). В треугольнике ACB₁ отрезок BC является медианой, поэтому она делит его на два равновеликих треугольника. CB₁ – медиана треугольника BB₁C₁ , следовательно, она также делит его на два равновеликих треугольника: S _ABC=S _BCB1=S _CC1B1 . Итак, S _BB1C1=2S _ABC . Проведя медиану AD₁ треугольника DD₁A₁ , мы точно так же убедимся, что S _DD1A1=2S _ACD . Таким образом, если мы сложим площади треугольников BB₁C₁ и A₁D₁D , то получим удвоенную площадь данного четырёхугольника. Аналогично, проведя диагональ DB данного четырёхугольника, увидим, что сумма площадей треугольников D₁CC₁ и AA₁B₁ равна удвоенной площади данного четырёхугольника. Следовательно, площадь четырёхугольника A₁B₁C₁D₁ равна упятерённой площади данного четырёхугольника.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название	14-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1964
Номер	14
Задача
Название	Задача 8.4