Задача 109010

Темы:    [ Диаметр, основные свойства ] [ Окружности (построения) ] [ Построение треугольников по различным элементам ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Две окружности O и O₁ пересекаются в точке A . Провести через точку A такую прямую, чтобы отрезок BC , высекаемый на ней окружностями O и O₁ , был равен данному.

Решение

Пусть задача решена. Отрезок BC прямой, проходящей через точку пересечения двух окружностей A , равен данному отрезку a . Опустим из центров окружностей O и O₁ перпендикуляры OE и O₁F на эту прямую. Из центра O₁ проведем прямую O₁K , параллельную EF (рис.). EFO₁K – прямоугольник, KO₁=EF, EF=EA+AF, BE=EA, AF=FC , так как хорды делятся перпендикулярными к ним радиусами пополам. Поэтому EF=BE+FC=a/2 . Построение сводится к построению прямоугольного треугольника KOO₁ по гипотенузе OO₁ и катету KO₁=EF=a/2 . Построив этот треугольник, проводим искомую прямую параллельно O₁K через точку A или опускаем из точки A перпендикуляр на OK . Поскольку по одну сторону от данного отрезка OO₁ можно построить два равных симметричных прямоугольных треугольника, то задача имеет два решения. Два решения будет и в том случае, когда получится только один равнобедренный треугольник, так как в этом случае его катеты равноправны и условию задачи будет удовлетворять перпендикуляр, опущенный на каждый из катетов. Построение возможно, если возможно построение прямоугольного треугольника, т. е. если a/21 . В случае a/2=OO₁ решение также возможно, но оно будет единственным. Это будет прямая, проходящая через точку А параллельно линии центров.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название	14-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1964
Номер	14
Задача
Название	Задача 8.6