Условие
Провести хорду данной окружности, параллельную данному диаметру,
так, чтобы эта хорда и диаметр были основаниями трапеций с
наибольшим периметром.
Решение
Рассмотрим вписанную в круг трапецию
ABCD , одним основанием
которой является диаметр круга, и найдем выражение для ее периметра
через радиус круга и боковую сторону (рис.). Затем исследуем, при
каком условии это выражение будет максимальным. Введем обозначения:
AB=CD=x (трапеция, вписанная в круг, всегда равнобедренная),
BC=2y, AD=2R, AB+BC+CD+DA=2p . Опустим перпендикуляры
BK AD,
CM AD, AK=MD, BC=KM ,
AK=(AD-BC)/2,
AK=(2R-2y)/2=R-y . Так как угол
ABD опирается на диаметр, то
он прямой. Из прямоугольного треугольника
ABD можем выразить катет
AB через гипотенузу и его проекцию на гипотенузу:
AB2=AD·
AK , т. е.
x2=2R(R-y) . Найдем отсюда выражение для основания
BC=2y через боковую сторону
x :
y=(2R2-x2)/2R . Периметр
трапеции
2p=2x+2y+2R будет достигать максимального значения тогда
же, когда и полупериметр
p=x+y+R . Поэтому выразим полупериметр
трапеции через
x и
R .
p=x+(2R2-x2)/2R+R=(2Rx+4R2-x2)/2R . Поскольку
знаменатель этого выражения постоянен, то максимум достигается при
максимальном значении числителя, представляющего собой квадратный
трёхчлен относительно
x . Его старший коэффициент отрицателен,
следовательно, трёхчлен имеет максимальное значение, не имея
минимума. Как известно, максимума квадратный трёхчлен достигает в
точке с абсциссой
x=-b/2a , где
a – старший
коэффициент,
b
– коэффициент при первой степени аргумента. В нашем случае
a=-1, b=2R . Поэтому
x=-2R/(2(-1))=R . Итак, трапеция максимального
периметра, вписанная в круг радиуса
R , одним основанием которой
является диаметр круга, должна иметь боковую сторону, равную
радиусу. Отсюда вытекает построение.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Белорусские республиканские математические олимпиады |
|
олимпиада |
|
Название |
14-я Белорусская республиканская математическая олимпиада |
|
Год |
1964 |
|
Номер |
14 |
|
Задача |
|
Название |
Задача 9.3 |
