Задача 109021

Темы:    [ Пространственные многоугольники ] [ Касательные к сферам ] [ Теоремы Чевы и Менелая в пространстве ] [ Проектирование помогает решить задачу ] [ Перпендикуляр и наклонная ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Около сферы описан пространственный четырёхугольник. Доказать, что точки касания лежат в одной плоскости.

Решение

Решение 1

Пусть четырехугольник ABCD описан около сферы и K,L,M,N – точки касания с шаром прямых AB,BC,CD и DA соответственно (рис.). По свойству касательных к шару получим:

AK=AN, BK=BL, CL=CM, DM=DN.
Проведем через точки K,L,M плоскость α . Эта плоскость пересечет прямую AD в некоторой точке N₁ , ибо точки A и D лежат по разные стороны плоскости α . Допустим, что N₁ не совпадет с точкой N . Пусть, например, AN₁ и тогда DN₁>DN . Поскольку равные наклонные образуют с плоскостью равные углы, то AB и BC образуют с плоскостью α равные углы ( BK=BL ). Тот же угол образует с плоскостью α прямая DC (ибо CM=CL и DC образует с плоскостью тот же угол, что и BC ). Сравнивая AK и AN₁ , получим, что прямая AD образует с плоскостью α угол, больший, чем , так как большая наклонная образует с плоскостью меньший угол. Сравнивая DN₁ с DM , получим, что этот угол меньше . Полученное противоречие показывает, что точка N₁ должна совпасть с точкой N . То же получили бы, предположив, что AN₁ больше AN .

Решение 2

Пусть сфера касается сторон AB, BC, CA и AD в точках K, L, M и N соответственно. Тогда AN = AK, BK = BL, CL = CM и DM = DN. Поэтому

^{. . .} = 1.(()1)

Рассмотрим точку N', в которой плоскость KLM пересекает прямую DA. Покажем, что

^{. . .} = 1.(()2)

Для этого рассмотрим проекцию на прямую, перпендикулярную плоскости KLM. Точки K, L, M и N' при этом проецируются в одну и ту же точку X. Пусть A₁, B₁, C₁, D₁ — проекции точек A, B, C, D. Отношения отрезков, лежащих на одной прямой, при проекции сохраняются, поэтому

^{. . .} = ^{. . .} = 1.

Из равенств (1) и (2) следует, что DN : AN = DN' : AN', поэтому N = N' (обе точки N и N' лежат на отрезке AD).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название	15-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1965
Номер	15
Задача
Название	Задача 11.3