ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109027
Тема:    [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найти все действительные решения системы уравнений
    x² + y² + z² = 1,
    x³ + y³ + z³ = 1.


Подсказка

При  0 < |x| < 1  выполнено неравенство  x³ < x².


Решение

Если  x ≤ 1,  то  x³ ≤ x²,  причем равенство достигается только при  x = 0  и  x = 1.  Из уравнения  x² + y² + z² = 1  следует, что x, y, z – числа от –1 до 1. Поэтому  x³ + y³ + z³ ≤ x² + y² + z²,  причем равенство достигается, когда каждое из чисел x, y, z равно либо 0, либо 1.


Ответ

{1, 0, 0}.

Замечания

Ср. с задачей 78036.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название 15-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год 1965
Номер 15
Задача
Название Задача 9.4
web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .