Задача 109027
|
|
 |
Условие
Найти все действительные решения системы уравнений
x² + y² + z² = 1,
x³ + y³ + z³ = 1.
Подсказка
При 0 < |x| < 1 выполнено неравенство x³ < x².
Решение
Если x ≤ 1, то x³ ≤ x², причем равенство достигается только при x = 0 и x = 1. Из уравнения x² + y² + z² = 1 следует, что x, y, z – числа от –1 до 1. Поэтому x³ + y³ + z³ ≤ x² + y² + z², причем равенство достигается, когда каждое из чисел x, y, z равно либо 0, либо 1.
Ответ
{1, 0, 0}.
Замечания
Ср. с задачей 78036.
