Задача 78036
|
|
 |
Условие
Найти все действительные решения системы
x³ + y³ = 1,
x4 + y4 = 1.
Решение
Если x = 0 или ±1, то y = ±1 или 0. Ясно также, что x ≠ –1 и y ≠ –-1. Поэтому решений такого вида ровно два: (0, 1) и (1, 0). Покажем, что других решений нет.
Нас интересует случай, когда 0 < |x|, |y| < 1. В таком случае |x|³ + |y|³ < x4 + y4 = 1. Поэтому если числа x и y оба положительны, то решений нет. Если оба эти числа отрицательны, то решений тоже нет. Пусть теперь, например, x > 0 и y > 0. Тогда x³ + y³ < x³ < 1. В этом случае решений тоже нет.
Ответ
{1, 0}.
Замечания
Ср. с задачей 109027.
