Задача 109038

Тема:    [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Решить систему уравнений

    1 − x₁x₂x₃ = 0,
    1 + x₂x₃x₄ = 0,
    1 − x₃x₄x₅ = 0,
    1 + x₄x₅x₆ = 0,
      ...
    1 − x₄₇x₄₈x₄₉ = 0,
    1 + x₄₈x₄₉x₅₀ = 0,
    1 − x₄₉x₅₀x₁ = 0,
    1 + x₅₀x₁x₂ = 0.

Решение

  Ясно, что ни одно из неизвестных не равно нулю. Вычитая из первого уравнения второе, получим  x₂x₃(x₁ + x₄) = 0,  то есть  x₁ = – x₄.  Аналогично
x₂ = – x₅,  x₃ = – x₆,  ...,  x₄₇ = – x₅₀,  x₄₈ = – x₁,  x₄₉ = – x₂,  x₅₀ = – x₃.  Отсюда видно, что  x₁ = x₇,  x₂ = x₈,  ...,  x₅₀ = x₆.  Продолжая, получим
x₁ = x₃ = x₅ = ... = x₄₉ = – x₂ = – x₄ = ... = – x₅₀.  Подставив эти формулы, например, в первое уравнение, получим  

Ответ

(–1, 1, –1, 1, ..., –1, 1).

Замечания

Ср. с задачей 77961.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Номер	17
Название	17-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1967
Задача
Название	Задача 8.4