|
|
 |
Условие
Пусть A – некоторая точка пространства, не лежащая в плоскости
α , M – произвольная точка плоскости α . Найдите
геометрическое место середин отрезков AM .
Решение
Пусть B – некоторая точка плоскости α . Через середину P отрезка
AB проведём плоскость γ , параллельную плоскости α . Докажем,
что плоскость γ есть искомое геометрическое место точек.
Пусть X – произвольная точка плоскости α (рис.1).
Плоскость, проходящая через прямую BX и точку A , пересекает
плоскость γ по прямой l , проходящей через точку P параллельно BX .
Значит, прямая l пересекает отрезок AX в его середине Z . Таким
образом, середина Z отрезка AX лежит в плоскости γ .
Пусть теперь N – произвольная точка плоскости γ (рис.2). Докажем, что
N – середина отрезка, один конец которого есть точка A , а второй
лежит в плоскости α . Действительно, если прямая AN пересекает
плоскость α в точке D , то плоскость, проходящая через прямую DB и
точку A пересекает плоскость γ по прямой PN , параллельной DB , а
т.к. P – середина AB , то N – середина AD . Таким образом, AD –
искомый отрезок.
Ответ
Плоскость.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 8135 |
