|
|
 |
Условие
Найдите геометрическое место середин всех отрезков, концы
которых лежат в двух параллельных плоскостях.
Решение
Пусть α и β – две параллельные плоскости, точка A лежит
в плоскости α , точка B – в плоскости β . Через середину
M отрезка AB проведём плоскость γ , параллельную плоскостям
α и β . Докажем, что плоскость γ есть искомое
геометрическое место точек.
Пусть XY – произвольный отрезок, концы X и Y которого лежат в
плоскостях α и β соответственно (рис.1).
Плоскость, проходящая через прямую BY и точку A , пересекает плоскость
γ по прямой l , проходящей через точку M параллельно BY . Значит,
прямая l пересекает отрезок AY в его середине C . Таким образом,
середина C отрезка AY лежит в плоскости γ . Проведя плоскость через
AX и точку Y , аналогично докажем, что середина Z отрезка XY лежит в
плоскости γ . Следовательно, середины всех отрезков с концами в
параллельных плоскостях α и β лежат в плоскости γ .
Пусть теперь N – произвольная точка плоскости γ (рис.2). Докажем, что
N – середина какого-то отрезка с концами в плоскостях α и β .
Действительно, если прямая AN пересекает плоскость β в точке D , то
плоскость, проходящая через прямую DB и точку A , пересекает
плоскость γ по прямой MN , параллельной DB , а т.к. M – середина AB ,
то N – середина AD . Таким образом, AD – искомый отрезок с концами в
плоскостях α и β .
Ответ
Плоскость.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 8136 |
