Условие
Найдите геометрическое место середин всех отрезков, концы
которых лежат в двух параллельных плоскостях.
Решение
Пусть
α и
β – две параллельные плоскости, точка
A лежит
в плоскости
α , точка
B – в плоскости
β . Через середину
M отрезка
AB проведём плоскость
γ , параллельную плоскостям
α и
β . Докажем, что плоскость
γ есть искомое
геометрическое место точек.
Пусть
XY – произвольный отрезок, концы
X и
Y которого лежат в
плоскостях
α и
β соответственно (рис.1).
Плоскость, проходящая через прямую
BY и точку
A , пересекает плоскость
γ по прямой
l , проходящей через точку
M параллельно
BY . Значит,
прямая
l пересекает отрезок
AY в его середине
C . Таким образом,
середина
C отрезка
AY лежит в плоскости
γ . Проведя плоскость через
AX и точку
Y , аналогично докажем, что середина
Z отрезка
XY лежит в
плоскости
γ . Следовательно, середины всех отрезков с концами в
параллельных плоскостях
α и
β лежат в плоскости
γ .
Пусть теперь
N – произвольная точка плоскости
γ (рис.2). Докажем, что
N – середина какого-то отрезка с концами в плоскостях
α и
β .
Действительно, если прямая
AN пересекает плоскость
β в точке
D , то
плоскость, проходящая через прямую
DB и точку
A , пересекает
плоскость
γ по прямой
MN , параллельной
DB , а т.к.
M – середина
AB ,
то
N – середина
AD . Таким образом,
AD – искомый отрезок с концами в
плоскостях
α и
β .
Ответ
Плоскость.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8136 |
