Задача 109072

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Тетраэдр (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Пусть A , B , C и D – четыре точки пространства, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что отрезок, соединяющий середины AB и CD , пересекается с отрезком, соединяющим середины AD и BC . При этом каждый из указанных отрезков делится точкой пересечения пополам.

Решение

Пусть K , L , M и N – середины отрезков AB , BC , CD и DA соответственно. Тогда KL и MN – средние линии треугольников ABC и ADC . Значит, KL || MN и KL = MN . Следовательно, KLMN – параллелограмм. Диагонали KM и LN параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8137