Условие
В пространстве проведены три прямые, не лежащие в одной
плоскости. но при этом никакие две не являются скрещивающимися.
Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку либо
параллельны.
Решение
Пусть a , b и c – данные прямые. Через прямые a и b проведём
плоскость α (это можно сделать, т.к. прямые a и b не являются
скрещивающимися). Ясно, что прямая c не может лежать в плоскости α ,
т.к. по условию задачи прямые a , b и c не лежат в одной плоскости.
Если прямая c пересекает плоскость α в точке A (рис.1), то точка A
должна лежать на прямой a , т.к. в противном случае прямые c и a –
скрещивающиеся (признак скрещивающихся прямых). Аналогично,
точка A лежит на прямой b . Следовательно, все три прямые
проходят через точку A .
Если прямая c параллельна плоскости α (рис.2), то плоскость β ,
проведённая через прямые a и c , пересекается с плоскостью α
по прямой a1 , параллельной прямой c , а т.к. прямая a1 совпадает
с прямой a (пересечением двух плоскостей является прямая), то прямая c
параллельна прямой a . Аналогично, прямая c параллельна
прямой b . Следовательно, все три прямые параллельны.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8138 |
