Условие
В пространстве проведены три прямые, не лежащие в одной
плоскости. но при этом никакие две не являются скрещивающимися.
Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку либо
параллельны.
Решение
Пусть
a ,
b и
c – данные прямые. Через прямые
a и
b проведём
плоскость
α (это можно сделать, т.к. прямые
a и
b не являются
скрещивающимися). Ясно, что прямая
c не может лежать в плоскости
α ,
т.к. по условию задачи прямые
a ,
b и
c не лежат в одной плоскости.
Если прямая
c пересекает плоскость
α в точке
A (рис.1), то точка
A
должна лежать на прямой
a , т.к. в противном случае прямые
c и
a –
скрещивающиеся (признак скрещивающихся прямых). Аналогично,
точка
A лежит на прямой
b . Следовательно, все три прямые
проходят через точку
A .
Если прямая
c параллельна плоскости
α (рис.2), то плоскость
β ,
проведённая через прямые
a и
c , пересекается с плоскостью
α
по прямой
a1
, параллельной прямой
c , а т.к. прямая
a1
совпадает
с прямой
a (пересечением двух плоскостей является прямая), то прямая
c
параллельна прямой
a . Аналогично, прямая
c параллельна
прямой
b . Следовательно, все три прямые параллельны.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8138 |
