Условие
Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно
провести плоскость, параллельную другой прямой, и притом только
одну.
Решение
Пусть a и b – скрещивающиеся прямые. Через произвольную точку
A прямой a проведём прямую b1 , параллельную прямой b (рис.1). Прямые
a и b1 не могут совпасть, т.к. в противном случае прямая a была
бы параллельна прямой b . Через пересекающиеся прямые a и b1 проведём
плоскость β . Плоскость β параллельна прямой b , т.к. в плоскости
β лежит прямая b1 , параллельная прямой b .
Докажем, что построенная плоскость β единственна. Пусть
плоскость γ также проходит через прямую a и параллельна прямой b (рис.2).
Плоскости β и γ имеют общую прямую a . Через произвольную точку M
прямой a и прямую b проведём плоскость. Эта плоскость должна
пересечься с плоскостями β и γ по прямым, каждая из которых
параллельна прямой b и поэтому отлична от прямой a . Значит, эти
прямые совпадают. Таким образом, через две пересекающиеся прямые
проведены две плоскости γ и β . Следовательно, плоскость γ
совпадает с плоскостью β .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8139 |
