Условие
Рассмотрим скрещивающиеся прямые a и b . Проведём через
прямую a плоскость, параллельную b , а через b – плоскость,
параллельную a . Возьмём точку M , не лежащую в проведённых
плоскостях. Докажите, что две плоскости, одна из которых проходит
через a и M , а вторая – через b и M , пересекаются по прямой,
пересекающей прямые a и b .
Решение
Пусть α – плоскость, проходящая через прямую a параллельно
прямой b , β – плоскость, проходящая через прямую b параллельно
прямой a , M – точка, не лежащая в плоскостях α и β ,
α1 – плоскость, проходящая через точку M и прямую a ,
β1 – плоскость, проходящая через точку M и прямую b ,
c – прямая пересечения плоскостей α1 и β1 .
Прямые c и a лежат в плоскости α1 . Предположим, что c || a .
Тогда прямая c параллельна плоскости α , а значит, и плоскости
β . Плоскость β1 проходит через прямую c , параллельную плоскости
β , и пересекает эту плоскость по прямой b . Поэтому c || b .
Следовательно, a || b , что противоречит условию задачи. Таким
образом, прямая c пересекает прямую a . Аналогично докажем, что
прямая c пересекает прямую b .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8140 |
