Задача 109078

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Параллельность прямых и плоскостей ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Пусть A , B , C и D – четыре точки, не лежащие в одной плоскости. В каком отношении плоскость, проходящая через точки пересечения медиан треугольников ABC , ABD и BCD , делит отрезок BD ?

Решение

Пусть K , L , M – точки пересечения медиан треугольников ABC , ABD и BCD соответственно, P – середина BC , Q – середина AC . В треугольнике ADP известно, что

= = ,
поэтому KM || AD . Аналогично, KL || CD . Значит, плоскость KLM параллельна плоскости ACD . Пусть F – точка пересечения прямой BD с плоскостью KLM . Параллельные плоскости ACD и KLM пересечены плоскостью DQB по параллельным прямым DQ и KF . Следовательно,
= = .

Ответ

1:2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8143