|
|
 |
Условие
Плоскость проходит через середины рёбер AB и CD пирамиды ABCD и делит ребро BD в отношении 1 : 3.
В каком отношении эта плоскость делит ребро AC?
Решение
Пусть M и N – середины рёбер AB и CD соответственно, а K – точка ребра BD, для которой BK : KD = 1 : 3. Рассмотрим плоскость ABD. Пусть прямые KM и AD пересекаются в точке T. Если F – середина BD, то K – середина BF. Поэтому
KF = ½ BF. Тогда KM – средняя линия треугольника AFB. Значит,
KT || AF и AT = ½ AD.
Рассмотрим плоскость ACD. Через вершину C треугольника ACD проведём прямую, параллельную AD, и продолжим TN до пересечения с этой прямой в точке E. Пусть прямые TE и AC пересекаются в точке L. Тогда L – точка пересечения секущей плоскости с ребром AC. Треугольник ECN равен треугольнику TDN, поэтому EC = DT. Треугольник ATL подобен треугольнику CEL. Следовательно, AL : LC = AT : CE = 1 : 3.
Ответ
1 : 3.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 8146 |
