Задача 109089

Темы:    [ Cкрещивающиеся прямые, угол между ними ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Найдите угол между прямыми AC и BD , если AC = 6 , BD = 10 , а расстояние между серединами AD и BC равно 7.

Решение

Пусть M , N , K и L – середины отрезков AD , BC , AB и CD соответственно. Так как ML и KN – средние линии треугольников ADC и ABC с общим основанием AC , то ML || KN и

ML = KN = AC = 3.
Аналогично, MK || LN и
MK = LN = BD = 5.
Четырёхугольник KNLM – параллелограмм. По условию задачи его диагональ MN равна 7. Из треугольника MLN по теореме косинусов находим, что
cos MLN = = = -.
Значит, MLN = 120^o . Угол между прямыми AC и BD равен углу между параллельными им прямыми LM и LN , т.е. 60^o .

Ответ

60^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8154