Задача 109093

Темы:    [ Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее) ] [ Ортогональная проекция (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Точки A и B лежат в плоскости α , M – такая точка в пространстве, для которой AM = 2 , BM = 5 и ортогональная проекция на плоскость α отрезка BM в три раза больше ортогональной проекции на эту плоскость отрезка AM . Найдите расстояние от точки M до плоскости α .

Решение

Пусть M1 – основание перпендикуляра, опущенного из точки M на плоскость α . Тогда AM1 и BM1 – ортогональные проекции отрезков соответственно AM и BM на эту плоскость, длина отрезка MM1 – расстояние от точки M до плоскости α , а треугольники AMM1 и BMM1 – прямоугольные. Обозначим AM1 = x . Тогда по условию задачи BM1 = 3x . По теореме Пифагора

AM2 - AM21 = BM2 - BM21, или 4 - x2 = 25 - 9x2,
откуда x2 = . Следовательно,
MM1 = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8158