Условие
Докажите, что геометрическое место точек, равноудаленных от
двух заданных точек пространства, есть плоскость, перпендикулярная
отрезку с концами в этих точках и проходящая через середину
этого отрезка.
Решение
Пусть плоскость α перпендикулярна прямой AB и проходит через
середину M отрезка AB .
Если P – произвольная точка этой плоскости, отличная от M , то
AB 
PM , поэтому PM – высота и мединана треугольника APB .
Значит, треугольник APB равнобедренный. Следовательно, PA = PB .
Пусть теперь P – произвольная точка пространства,
равноудалённая от точек A и B . Если P отлична от M , то медиана
равнобедренного треугольника APB является его высотой. Поэтому PM
AB . Если бы при этом точка P не лежала в плоскости α , то плоскости
α и APB пересекались бы по прямой, проходящей через точку M и
перпендикулярной прямой AB , а значит, в плоскости APB через точку M
проходили бы две прямые, перпендикулярные AB , что невозможно.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8171 |
