Задача 109098

Темы:    [ Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее) ] [ Ортогональная проекция (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Известно, что некоторая точка M равноудалена от двух пересекающихся прямых m и n . Докажите, что ортогональная проекция точки M на плоскость прямых m и n лежит на биссектрисе одного из углов, образованных прямыми m и n .

Решение

Пусть M1 – ортогональная проекция точки M на плоскость α , проходящую через прямые m и n ; A – точка пересечения прямых m и n ; P и Q – основания перпендикуляров, опущенных из точки M на прямые m и n соответственно. Так как M1P и M1Q – ортогональные проекции наклонных AP и AQ на плоскость α , то по теореме о трёх перпендикулярах M1P m и M1Q n , а т.к. MP = MQ то M1P = M1Q , т.е. точка M1 равноудалена от сторон угла PAQ . Следовательно, точка M1 лежит на биссектрисе этого угла.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8173